3.5 线性代数相关的函数
本小节我们将介绍 MATLAB 在线性代数中的一些常用函数， 以下内容大多仅涉及到初等线性代数的知识，大家可以查阅线性代数的书籍复习相关概念。
函数名 | 功能 |
det | 计算方阵的行列式（determinant） |
rank | 计算矩阵的秩 |
trace | 计算方阵的迹（对角线元素的和） |
rref | 将矩阵变换成行最简型矩阵（Reduced row echelon form 简化行阶梯形） |
inv | 计算方阵的逆矩阵（inverse matrix）， inv(X)的结果和 X^(-1)相同 |
transpose | 返回转置矩阵（有复数的话转置后虚部符号保持不变），transpose(A)和 A.'的结果相同 |
triu | 返回矩阵的上三角部分，triangle(三角形) + upper(高、 上方) |
tril | 返回矩阵的下三角部分，triangle(三角形) + lower(低、下方) |
eig | 计算方阵的特征值和特征向量（eigenvalue and eigenvector） |
norm | 计算向量或者矩阵的范数（这个概念大家可能没接触过，它在机器学习中用的较多） |
1.det,rank,trace,rref,inv,transpose函数
最前面的六个函数都很简单，我们直接来看例子：
2.triu 函数和 tril 函数（可用于对称矩阵的构造）
triu 函数和 tril 函数用法相同，可分别用来返回矩阵的上三角部分和下三角部分。
- triu(A,k)返回 A 的第 k 条对角线上以及该对角线上方的元素，其他位置元素用 0 填充， k 等于 0 时可以简写成 triu(A)。
- tril(A,k)返回 A 的第 k 条对角线上以及该对角线下方的元素，其他位置元素用 0 填充， k 等于 0 时可以简写成 tril(A)。
默认值 k = 0 是主对角线， k > 0 位于主对角线上方，而 k < 0 位于主对角线下方。
下面我们用这两个函数来做一个有趣的练习题：生成一个 n 阶（例如 n=4）的对称矩阵， 里面的每个元素都是位于区间[0, 9]中的随机整数。
这几行代码综合性非常强， 核心的思路就是将这个对称矩阵分成三个部分： 首先随机生成 对称矩阵的上半部分（不包括主对角线），这是一个上三角矩阵； 然后将其转置来确保矩阵的 元素是对称的；最后使用 diag 函数生成一个随机的对角矩阵。将上半部分、下半部分以及对 角矩阵相加即可得到这个对称矩阵。
具体代码的解释如下： 对于一个 n 阶的对称矩阵， 它的上三角部分（不包括主对角线） 有 n*(n- 1)/2 个元素，上方代码中将其赋值给 num；矩阵 A 初始化为一个 n 阶全为 0 的矩阵；true(n) 创建了一个 n 阶的逻辑矩阵，其中所有元素都为逻辑值 1；triu(true(n),1)返回了一个不包括主对角线的上三角的逻辑矩阵， 我们用它对 A 矩阵进行逻辑索引； randi([0,9],num,1)生成了一个 有 num 个元素的向量，其中每个元素都是位于区间[0, 9]中的随机整数； A(triu(true(n),1))选取 了矩阵 A 的上三角部分（不包括主对角线），然后将其赋值为随机生成的整数； A'是矩阵 A 的 转置，由于我们已经填充了 A 的上三角部分，将它转置我们可以确保下三角部分与上三角部分是对称的； diag(randi([0,9],n,1))生成了一个主对角线上的元素为区间[0, 9]中的随机整数， 而 其它地方都为 0 的 n 阶矩阵；将这三个矩阵相加，即可得到最终的对称矩阵。
以后我们学了循环语句后， 还可以利用循环语句生成， 虽然循环语句更直观且代码易于编 写，但直接基于矩阵操作在 MATLAB 中通常更高效，尤其是对于大型矩阵。
3.eig 函数
eig 函数可用来计算方阵的特征值和特征向量，它有两种最基础的用法：
- e = eig(A) 返回一个列向量， e 中包含方阵 A 的所有特征值。
- [V,D] = eig(A) 返回特征向量构成的矩阵 V 和特征值构成的对角矩阵 D，V 中的每一 列就是 D 中对应特征值的特征向量。
举个最简单的例子：学过线性代数的同学应该会求矩阵A = 2(1) 1(2)] 的特征值和特征向量， 这是手算的结果： A的两个特征值分别为− 1和3 ，其中− 1对应的特征向量为k1 1] ，3对应的
特征向量为k2 1(1)] ，这里的k1 和k2 均为非零常数。
我们用 MATLAB 来验算下：
有同学会有疑惑， 为什么 MATLAB 算出来的特征向量这么奇怪？特征值-1 对应的特征向 量是[ -0.7071; 0.7071]，特征值 3 对应的特征向量是[0.7071; 0.7071]。这是因为特征值对应的特 征向量不是唯一的， 前面可以乘以任意的非零常数。在 MATLAB 中，eig 函数会对特征向量进 行缩放，使得各特征值对应的特征向量的模长均为 1。
再来看个例子：
练习题：请你将上方 A 矩阵的特征值从大到小降序排列，对应的特征向量的顺序也要跟 着特征值的顺序改变。
另外， MATLAB 计算得到的特征值或特征向量可能会有一定的误差， 这是 MATLAB 的浮 点数运算误差导致的，大家以后遇到了有印象即可。
4.norm 函数
下面我们来介绍最后一个函数：norm 函数，它可以用来计算向量或者矩阵的范数。范数这个概念大家可能没听过，它在机器学习中用的较多。
我们这里只介绍向量的范数，假设向量，常用的向量范数有下面三种：
在 MATLAB 中的调用方法分别为： norm(x,1)、norm(x,2)和 norm(x,p)。事实上， 1-范数和 2-范数都属于 p-范数的特例， MATLAB 中 p 默认取 2，即 norm(x)是 norm(x,2)的简写形式， 表 示计算 2-范数。
我们来看几个例子：
事实上，如果你不会 norm 函数，也可以用我们之前的方法计算向量的范数： p-范数等价 于： sum(abs(x).^p) ^ (1/p)，这里的 1/p 要加括号。特别地， 将 p 分别取 1 和 2 即可得到 1-范数 和 2-范数。
5.拓展： 范数和距离的联系
（1）欧式距离（Euclidean Distance）
欧式距离是最常见的两点之间距离定义的方法，又被称为欧几里得度量， 它定义于欧几里 得空间中。点和点之间的欧氏距离为：
例如x(1, 2)和y(4, 6)直接计算欧氏距离结果 5，将它们视为向量： x = [1, 2] ，y = [4, 6]， 那么作差后x − y = [ − 3, −4]，向量[ − 3, −4]对应的 2-范数也为 5，和欧氏距离的结果相同。
（2）曼哈顿距离（Manhattan Distance）
假设城市所有的道路是平行且垂直的，如下图所示，你需要驾车从 X 点到达 Y 点，那么 你的驾驶距离应该如何计算？
你能直接计算 X 和 Y 两点之间的欧式距离作为你的驾驶距离吗？当然不行，除非你乘坐 的飞机。这时候，我们可以使用曼哈顿距离来表示实际的驾驶距离。
点和点之间的曼哈顿距离定义为：
例如x(1, 2)和y(4, 6)直接计算曼哈顿距离结果 7，将它们视为向量作差后得到[ − 3, −4]，向 量[ − 3, −4]对应的 1-范数也为 7，和曼哈顿距离的结果相同。
（3）闵可夫斯基距离 (Minkowski Distance)
闵可夫斯基距离（简称为闵氏距离） 不是一种特定的距离， 而是一组距离的定义。 x和y之 间的闵氏距离为：
其中p是一个正数，当p = 1时就是曼哈顿距离，当p = 2时，就是欧氏距离。
