上一节我们知道， 向量可以视为矩阵的一个特例： 若一个矩阵的行数为 1，则它可以视为 一个行向量；若列数为 1，则可以视为列向量；如果行数和列数同时为 1，那么它就是一个标 量（又称为常量、常数）。
学过其他编程语言的同学应该听过数组这个概念， 在程序设计中， 为了处理方便， 我们需 要把具有相同类型的若干元素按有序的形式组织起来， 这些有序排列的同类型数据元素的集合 就被称为数组。
学过其他编程语言的同学应该听过数组这个概念， 在程序设计中， 为了处理方便， 我们需 要把具有相同类型的若干元素按有序的形式组织起来， 这些有序排列的同类型数据元素的集合 就被称为数组。
在 MATLAB 的官方文档中，有时候也会出现数组这个概念。在 MATLAB 里，向量可以 被称为一维数组，而我们常见到的由多行多列构成的矩阵可以被称为二维数组， 这两个维度由矩阵的行和列表示。在 MATLAB 中， 一维数组可以视为二维数组的一个特例。另外，在 MATLAB 中，我们还可以定义多维数组，多维数组是指具有两个以上维度的数组，绝大多数 情况下我们不会用到，有兴趣的同学可以查看官方帮助文档。
以后在不引起误会的情况下，我们将 MATLAB 中的矩阵和数组视为同一个概念。
3.2.1 向量的创建方法
在 MATLAB 中，向量的创建方法主要有三种，分别是：直接输入法、冒号法和利用 MATLAB 的函数创建。大家可以打开本节的配套代码：“code 3 2 1”进行学习， 下面我们来 进行介绍：
（1）直接输入法
向量元素需要用英文的中括号“[ ] ”括起来，元素之间用空格、逗号、分号或按回车键 分隔， 就可以创建对应的向量。若元素之间用空格、逗号分隔，则创建的是行向量；若用分号、 回车键分隔，则创建的是列向量。 （注意：这里的逗号和分号都是英文输入法下输入的，不能 用中文的逗号或分号）
举例： a = [1 3 5]和 a = [1,3,5]都可以创建包含元素 1,3,5 的行向量，并将这个行向量的值 赋值给 a ；而 b = [1;3;5]创建的是包含元素 1,3,5 的列向量。
（2）冒号法：最常用
我们可以利用命令： A:step:B 来创建一个行向量。（冒号也要是英文的！）
其中， A 是起始值， step 是每次递增或递减的步长， B 是终止值（不一定刚好停在这里）。 若 step 等于 1，则可以直接简写成 A:B。
直接看上面的概念不够直观，下面我们举几个例子，大家根据例子来理解会很轻松。
代码 | 结果和相应的解释 |
1:2:7 | [1 3 5 7] % 每次增加 2，直到最后到了 7 |
1:2:8 | [1 3 5 7] % 每次增加 2，到了 7 后， 如果再增加 2 的话结果等于 9， 比 8 要大，所以到了 7 就停止了。 |
1:2:9 | [1 3 5 7 9] |
2:3:18 | [2 5 8 11 14 17] |
0:0.1:1 | [0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1] % 每次增加 0.1 |
0:0.01:1 | [0 0.01 0.02 0.03 …… 0.98 0.99 1] % 每次增加 0.01 |
1:1:100 或简写成 1:100 | [1 2 3 4 5 6 7 8 …… 98 99 100] % 步长为 1 时可以省略 |
1:10:3 | 1 % 从 1 开始，增加 10等于 11，比 3 还要大， 所以返回 1 |
5:2:1 | 空的 1×0 double 行向量 % 若 A > B 且步长 step > 0，则会返回空的向量。 |
10:- 1:6 | [10 9 8 7 6] % 步长为-1， 因此会从 10 开始递减 |
10:-2:5 | [10 8 6] % 步长为-2，从 10 开始递减， 到了 6 后， 如果再减去 2就等 于 4，比 5 还要小， 所以到了 6 就停止了。 |
10:- 100:5 | 10 % 步长为 -100,因为 10-100 = -90 比 5 还要小， 所以返回 10 |
10:-10:50 | 空的 1×0 double 行向量 % 若 A < B 且步长 step < 0，则会返回空的向量。 |
1:0:2 | 空的 1×0 double 行向量 % 若 step = 0，则返回空的向量。 |
大家根据上面的例子应该很容易发现规律。下面再给大家补充两个知识点：
第一：上表中，有三种情况都会导致 MATLAB 返回空的向量：空的 1×0 double 行向量。 怎么理解这个返回结果呢？这个“1×0”指的是向量的维度，你可以理解为 1 行 0 列，即这个 向量是空的，不存在元素。 在 MATLAB 中，我们可以直接使用命令[ ]创建空的向量。
第二： MATLAB 返回空的向量时，出现了一个英文单词： double。这里的 double 表示双 精度浮点型， 我在这门课中并没有特意去介绍数值的类型， 原因是这一块的知识比较底层， 涉 及到数值在计算机中的存储方式。同时， 和 C 、C++ 、JAVA 等语言相比， MATLAB 是偏应用 的一门语言，其对数值类型的要求较弱。对数值类型感兴趣的同学可以先在 b 站学习C 语言的公开课，然后再从 MATLAB 官网搜索数值类型的帮助文档进行学习。
（3）利用 MATLAB 函数创建
我们主要介绍两个函数: linspace 和 logspace，它们分别用来创建等差数列和等比数列。
首先介绍 linspace 函数，它有两种用法， 区别在于是否给定第三个输入参数 n ，如果我们 不指定 n ，则 MATLAB 会默认 n=100。这个函数使用的频率也很高，大家需要掌握。
. linspace(a,b): 该命令用来创建一个行向量， 向量中的第一个元素为a，最后一个元素为b，形成总数为 100 个元素的线性间隔的向量。
. linspace (a,b,n): 该命令用来创建一个行向量，向量中的第一个元素为a，最后一 个元素为b，形成总数为 n 个元素的线性间隔的向量。
代码 | 结果和相应的解释 |
linspace(1,100,10) | [1 12 23 34 45 56 67 78 89 100] % 第一个数为 1，最后一个数为 100，整 个向量构成了一个等差数列，由 10 个元素组成 |
linspace(1,99,10) | [1 11.8889 22.7778 33.6667 44.5556 55.4444 66.3333 77.2222 88.1111 99]
% 第一个数为 1，最后一个数为 99，整个向量由 10 个元素组成，构成了一个等 差数列，MATLAB 会自动计算等差数列的步长。 |
linspace(0,2*pi,10) | [0 0.69813 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888 4.8869 5.5851 6.2832]
% 第一个数为 0，最后一个数为 2*pi，注意中间的乘号千万不能省略! |
linspace(1,10) | [1 1.0909 1.1818 1.2727 1.3636 …… 9.8182 9.9091 10]
% 如果不指定第三个输入参数 n，则默认生成 100个元素的等差数列 |
linspace(100,1,10) | [100 89 78 67 56 45 34 23 12 1] % 如果 a>b,则步长是负数 |
初学者可能搞不懂 linspace (a,b,n)和冒号法 a:step:b 生成向量的区别，我这里为大家总结：
（1） linspace 不需要指定步长， MATLAB 会根据你给定的元素个数 n 自动计算出来； 而使用冒号法可以自己指定步长。
（2） linspace 生成的向量的最后一个元素一定是 b，而使用冒号法 a:step:b 生成的向量的 最后元素不一定是 b。
（3） 后续章节讲解循环语句时，冒号法使用的频率最高；而在绘制函数图形时，使用 linspace 得到的 x 轴的范围要比冒号法稍微准确一点。例如：我们要绘制 sin(x)在 区间[0, 2π]上的图形， x 的范围是 0 到2π, 我们使用 linspace(0,2*pi)生成的向量的 最后一个元素一定是2π;如果使用冒号法令 x=0:0.1:2*pi，那么 x 向量的最后一个 元素和2π有一个微小的差异，当然，如果我们将 step 取得更小，例如取成 0.01 ， 那么这个差异几乎可以忽略。
另一个函数是 logspace 函数，它使用的频率不高，大家了解即可。它有两种常见的用法：
. logspace(a,b)：创建一个行向量， 其第一个元素为10^a ，最后一个元素为10^b ，形成 总数为 50 个元素的等比数列向量。
. logspace(a,b,n): 创建一个行向量，其第一个元素为10^a ，最后一个元素为10^b ，形
成总数为 n 个元素的等比数列向量。
下面我们来看几个例子：
代码 | 结果和相应的解释 |
logspace(1,2,10) | [10 12.915 16.681 21.544 27.826 35.938 46.416 59.948 77.426 100]
% 第一个数为 10^1，最后一个数为 10^2， 10 个元素组成的等比数列 |
logspace(2,1,5) | [100 56.234 31.623 17.783 10]
% 第一个数为 10^2，最后一个数为 10^1，5 个元素组成的等比数列 |
logspace(log10(2),log10(1024),10) | [2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024]
% 第一个数为 2，最后一个数为 1024，10 个元素组成的等比数列 |
大家可以思考：如何创建一个包含 n 个元素的等比数列，其第一项为 a ，最后一项为 b。 （这里 n 、a 和 b 都是正数）？这个问题留作本章的课后习题。logsapce(log10(a),log10(b),n)
3.2.2 向量元素的引用
对向量元素的引用（即提取向量指定位置的值） 有两种情形， 分别是提取向量中的单个元 素和提取向量中的多个元素。在正式讲解之前，我们先来介绍索引（或下标）的概念。
我们知道， 向量分为行向量和列向量， 它们在 MATLAB 中只有一个维度， 因此我们可以 利用向量中包含的元素个数来描述一个向量的大小。在 MATLAB 中，可以使用 length 函数或 numel 函数来计算向量中包含的元素个数。
例如： a = [1,3,8,9,7]; length(a)或 numel(a)的返回结果是 5，因为向量 a 中有五个元素。
假如我们有一个行向量 a ，里面包含了 n 个元素（n 是大于等于 1 的常数），它们分别是 a1, a2, … , an ，那么我们可以列一个表格：
向量的元素 | a1 | a2 | a3 | … | an − 1 | an |
索引（下标） | 1 | 2 | 3 | … | n − 1 | n |
从上表可以看出， 索引就是指某一个元素在向量中对应的位置， 也可以称为元素在向量中 所处的下标，在 MATLAB 中，向量的索引是从 1 开始的。
举个具体的例子，假设向量 a=[2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024]，那么 a 中有 10 个元素， 因此 a 的最大索引是 10。
（1）单个元素引用
我们提取向量 a 中单个元素的方法很简单，只需要利用 a(ind)命令，小括号中的 ind 就是 你要提取的对应元素的索引。（注意： 创建向量用中括号， 提取元素要用小括号哦！）
例如： a(1)的结果为 2，因为 a 中第 1 个位置（索引或下标等于 1）的元素是 2；类似的， a(9)等于 512，因为 a 中第 9 个位置的元素是 512。
有些同学可能会好奇，如果我取索引为 11，即输入 a(11)会出现什么情况？
MATLAB 会报错：“索引超出数组元素的数目(10)”，即告诉我们， 现在这个向量中元素的 数目只有 10 个，即最大索引是 10，而你取了索引 11 的元素，超出了取值范围。
另外， 如果我们将 ind 取成 0、负数或者小数， 例如输入 a(0) 、a(- 1)、a(1.5)，MATLAB 也 会报错：“数组索引必须为正整数或逻辑值”。这里出现了“逻辑值”的概念， 我们在本章后面 小节中会介绍。
（2）多个元素引用
类似的，我们也可以利用向量的索引来同时提取多个位置的元素，这时候只需要将 ind 设 置成一个向量，ind 中放入我们想要提取的元素的索引，然后使用 a(ind)命令即可。
例如，我们令 ind = [1 3 5 7 9]，那么 a(ind)的结果为[2 8 32 128 512]，即我们提取了向量 a 中奇数位置的元素。熟悉向量冒号创建方法的同学应该能够看出， ind 等于 1:2:9，因此我们可 以直接将 a(ind)写成 a(1:2:9)，这就表示提取 a 中奇数位置的元素； 类似的， 提取 a 中偶数位置 元素的命令是 a(2:2:10)，如果你不熟练的话，可以分成两步写，即先令 ind=2:2:10，然后再使 用 a(ind)的命令。当然，对于同一个位置的元素，我们也可以提取多次，例如： ind = [1 2 2 3 3 3]，那么 a(ind)得到的结果应该是[2 4 4 8 8 8]，以后熟悉的话可以直接写成 a([1 2 2 3 3 3])。
技巧： 使用 end 索引
有同学会想， 假如我不知道向量 a 中有多少个元素， 也不想使用 length 函数或者 numel 函 数来计算向量中元素的个数， 那我能不能提取出 a 中奇数位置的元素呢？这时候就需要用到一 个特殊的关键字： end。它有很多种用法，在这里 end 可以用来替代向量的最后一个索引。
例如，我现在要访问 a 中第五个至最后一个元素，那么我们可以直接使用 a(5:end)，这里 的 end 就表示了 a 的最后一个索引； 另外， 我们还可以对 end 进行计算， 例如要访问 a 中第五 个至倒数第三个元素，我们可以使用 a(5:end-2)，得到的结果为[32 64 128 256]。
这里有一个易错点， 如果使用了 end，不能将要取元素的索引赋值给 ind。例如， 还是要访 问 a 中第五个至最后一个元素， 如果你令 ind=5:end ，MATLAB 就会报错。因此， 我们只能在 a 后面的小括号中使用 end 来替代数组的最后一个索引。
那我们回到上面的问题， 在不知道 a 中有多少个元素的前提下， 我们可以使用 a(1:2:end)。
最后请大家思考：如何将一个向量倒序？例如原来的向量是[1 5 8 4]，倒序后是[4 8 5 1]。 这个问题留作本章课后习题。
3.2.3 向量元素的修改和删除
前面我们介绍了向量元素的引用， 我们可以利用等号赋值的方法对引用位置的元素进行修 改和删除。令向量 a=[2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024]，请大家依次执行下面的代码：
请依次执行下面的代码 修改后的向量 a | ㅤ |
a(1) = 4 % 第一个元素改成 4 | [4 4 8 16 32 64 128 256 512 1024] |
a([1,3]) = [50 60] % 第 1 个位置元素改成 50；第 3 个位置元素改成 60 |
[50 4 60 16 32 64 128 256 512 1024] |
a(1:3) = [5 6] % 赋值时，左右两侧的元素个数要相同，左边引用了 3个位置， 右侧的向量长度为 2 | MATLAB 报错： 无法执行赋值，因为左侧和右侧的 元素数目不同。 |
a(2:4) = 100 % 如果右边为常数， 则将指定位置的元素全部变成这个常数。 | % 第 2 至 4 号位置的元素改为了 100
[50 100 100 100 32 64 128 256 512 1024] |
a(13) = 88 % 把索引为 13 的元素赋值为 88，如果超过了最大索引，则会自动拓展向量的大小 | [2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 0 0 88]
% 索引 11 和 12 的位置会自动用 0 进行赋值 |
如果我们将等号右侧变成空向量[ ]，则表示删除对应位置的元素。
a(1) = [ ] % 删除 a 的第一个元素 | [100 100 100 32 64 128 256 512 1024] |
a(end-1:end) = [ ] % 删除 a 中最后两个元素 | [100 100 100 32 64 128 256] |
思考题：
a=[2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024]
a([1,3]) :a中索引为1和3的元素
a(1:3) ：a中索引为1到3的元素
a(1,3) ：a中第一行第3列的元素